纸上谈兵: 图 (graph)

  • 时间:
  • 浏览:3

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是有两种比较松散的数据特性。它有一些节点(vertice),在一些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也总出 过,朋友 通常在节点中储存数据。边表示有4个 多节点之间的占据 关系。在树中,朋友 用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是有两种特殊的图,但限制性更强一些。

前一天的有两种数据特性是很常见的。比如计算机网络,什么都 由一些节点(计算机将会路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也都可不才能理解为图,地铁站都可不才能认为是节点。基于图有一些经典的算法,比如求图含高4个 多节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥什么的问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市含高第二根河流过,河含高高4个 多小岛。有七座桥桥连接河的两岸和有4个 多小岛。送信员总想知道,有没人 有4个 多土最好的办法,能不重复的走过7个桥呢?

(你什儿 什么的问题在一些奥数教材中称为"一笔画"什么的问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的都可不才能看作由7个边和有4个 多节点构成的有4个 多图:

你什儿 什么的问题最终被欧拉巧妙的外理。七桥什么的问题也启发了一门新的数科应学科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,将会某个节点都在起点将会终点,没人 连接它的边的数目可不才能为偶数个(从有4个 多桥进入,再从前一天桥拖累)。对于柯尼斯堡的七桥,将会有4个 多节点都为奇数个桥,而最多没人 有有4个 多节点为起点和终点,什么都不将会一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。有4个 多图的所有节点构成有4个 多集合[$V$]。有4个 多边都可不才能表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即有4个 多节点。将会[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,没人 图是有向的(directed)。有序的边都可不才能理解为单行道,没人 沿有4个 多方向行进。将会[$(v_1, v_2)$]无序,没人 图是无向的(undirected)。无序的边都可不才能理解成双向都都可不才能行进的道路。有4个 多无序的边都可不才能看作连接相同节点的有4个 多反向的有序边,什么都无向图都可不才能理解为有向图的有两种特殊清况 。

(七桥什么的问题中的图是无向的。城市中的公交线路都可不才能是无向的,比如占据 单向环线)

图的有4个 多路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也什么都 说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为有4个 多节点。路径顶端的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,朋友 会在选用某个路径,来从A站到达B站。前一天的路径将会有不止第二根,朋友 往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤清况 ,来选用第二根最佳的路线。将会占据 第二根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,没人 认为该图中占据 环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中占据 环路。

 

找到第二根环路

将会从每个节点,到任意有4个 多其它的节点,都在第二根路径一段话,没人 图是连通的(connected)。对于有4个 多有向图来说,前一天的连通称为强连通(strongly connected)。将会有4个 多有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,没人 认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

将会将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,前一天的图将会是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间没人 路径相连。

图的实现

有两种简单的实现图的土最好的办法是使用二维数组。让数组a的每一行为有4个 多节点,该行的不同元素表示该节点与一些节点的连接关系。将会[$(u, v) \in E$],没人 a[u][v]记为1,而且为0。比如下面的有4个 多含高高4个 多节点的图:

 

都可不才能简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

你什儿 实现土最好的办法所占据 的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而好快增多。将会边都在很密集,没人 什么都数组元素记为0,没人 稀疏的一些数组元素记为1,什么都并都在很经济。

更经济的实现土最好的办法是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,朋友 建立有4个 多链表。对于任意节点k,将会有[$(m, k) \in E$],就将该节点倒进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准土最好的办法。比如下面的图,

 

都可不才能用如下的数据特性实现:

 

左侧为有4个 多数组,每个数组元素代表有4个 多节点,且指向有4个 多链表。该链表含高高该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表都可不才能分为两每项。邻接表所占据 的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组每项储存节点信息,占据 [$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,占据 [$|E|$]的空间,即边的总数。在一些比较复杂的什么的问题中,定点和边还将会有一些的附加信息,朋友 都可不才能将哪些附加信息储占据 相应的节点将会边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

顶端的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是有两种很简单的数据特性。图的组织土最好的办法比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法比较复杂度。我将在前一天介绍一些图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据特性”系列